设A,B是抛物线y=2x^2上两点,求证：A,B的垂直平分线L经过抛物线焦点的充要条件

2P=2,P/2=1/2,∴焦点坐标F为(0,0.5); 设:A,B点的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)
∵A,B的垂直平分线L经过抛物线焦点
∴FA=FB===>X1²+(Y1-0.5)²=X2²+(Y2-0.5)²
又FA=Y1+0.5,FB=Y2+0.5===>Y1-0.5=Y2-0.5
∴X1=-X2===>(X1+X2)/2=0; ∴线段AB的中点落在y轴上

∵线段AB的中点落在y轴上, ∴X1=-X2===>Y1=Y2(∵Y=2X²)===>Y1+0.5=Y2+0.5
而Y1+0.5=FA,FB=Y2+0.5,
∴A,B的垂直平分线L经过抛物线焦点

A,B垂直平分线过抛物线焦点,则焦点F到A,B距离相等,即AF=BF,由抛物线定义可知,A,B到抛物线准线的距离相等,准线与Y轴平行,则直线AB平行于Y轴,由抛物线对称性可知,A,B关于Y轴对称,则AB中点一定在Y轴上

A,B中点在Y轴上,A,B在抛物线上,可知A,B关于Y轴对称,Y轴即为AB中垂线,又焦点在Y轴上,则L一定过焦点